עצי 2-3 תזכורת: בנים. דוגמאות: Chapter 19: B trees ( ) Chapter 15: Augmenting data structures ( )
|
|
|
- Ἱεριχώ Κουταλιανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 עצים מאוזנים Lecture 5 of Geiger & Itai s slide brochure תזכורת: משפחת עצים נקראת מאוזנת אם ( h. = (log עצי -3 ועצי דרגות עצי AVL הם עצים מאוזנים. עצי 3- מהווים דוגמא נוספת לעצים מאוזנים. הגדרה: עץ 3- הוא עץ בו כל העלים נמצאים באותה רמה ולכל צומת פנימי או 3 בנים. דוגמאות: חומר קריאה לשיעור זה Chapter 19: B trees (381 39) Chapter 15: Augmenting data structures (81 90) cs,technion Geiger & Itai, 01 1 עצי -3 כמבני נתונים גובה עצי -3 כל עלה מכיל מפתח ורשומה (רק המפתחות נראים בציור). אינדקסים המשמשים בנים ויש בו 1 לכל צמת פנימי 3 הרשומה הנחוצה לחיפוש מספר העלים בעץ -3 מקיים 3 כאשר h הוא גובה העץ. הוכחה: עבור חסם תחתון נבחן את העץ הבינרי השלם הנוצר ע"י סילוק כל ילד שלישי מעץ -3. עבור חסם עליון נבחן את העץ הטרינרי השלם הנוצר ע"י הוספת ילד שלישי לעץ -3 בכל מקום בו חסר ילד. עץ -3 נתון עץ בו כל ילד שלישי סולק עץ בו כל ילד חסר הוסף בצומת פנימי בעל שני בנים רשום אינדקס בודד - - הגדול ממש מהמפתח המקסימלי בתת העץ ששורשו הוא הבן הראשון וכן קטן או שווה למפתח המינימלי בתת העץ ששורשו הוא הבן השני. בצומת פנימי בעל שלושה בנים רשומים שני אינדקסים -. < האינדקס הראשון ) ) גדול ממש מהמפתחות בעץ הראשון וקטן שווה מהמפתחות בעץ בשני והאינדקס השני ) ) גדול ממש מהמפתחות בעץ השני וקטן שווה מהמפתחות בעץ השלישי. cs,technion 4 לפיכך הגובה מקיים.log h log כלומר: ).h = Θ(log cs,technion 3 3
2 חיפוש מפתח בעץ -3 הכנסת מפתח לעץ -3 יהי השורש של העץ. אם עלה, בדוק אם נמצא בצומת. החזר תשובה בהתאם. אם ) < קטן מהמפתח הראשון של :( 1. המשך את החיפוש בבן הראשון של. בהכנסת איבר לעץ -3 מבוצעות הפעולות הבאות:. חיפוש מקומו של המפתח החדש 1. הכנסת עלה למקום החדש וקביעת ערכו.. תיקון העץ כך שלכל צומת יהיו או 3 בנים. התיקון נעשה במסלול החיפוש 3. (1) פעולות. של מהעלה שנוסף ועד השורש. בכל רמה נבצע אחרת, אם ל- רק שני בנים או ש- ( < קטן מהמפתח השני של ): 1. המשך את החיפוש בבן השני של. אחרת, המשך את החיפוש בבן השלישי של הקשתות המושחרות הן הקשתות בהן יורדים בעת בחיפוש. נמחיש זאת תחילה ע"י מספר דוגמאות., 0 חפש 14:, , cs,technion 6 cs,technion 5 פרוט פעולת פיצול צומת דוגמא להכנסה לעץ ,, 3 צעד ראשון:,, 3, 14 5, הכנס :,, , ,, 3 3,, צעד שני: 3 צעד שלישי: 14 5, 14 5, T 1 T T 3 T 4 T 1 T T 3 T cs,technion 8 cs,technion
3 אלגוריתם להכנסת מפתח (חלק ב) בעץ. אם נמצא, סיים. 1. חפש את. אם אינו ב-, יהי הצומת האחרון, שאינו עלה, במסלול,3, החיפוש. (לו היה ב- אזי היה אבי העלה 3 שבו נמצא). 3.,5 צור עלה 14 חדש בעל מפתח, והוסף אותו כבן,5 ל- תוך 14 שמירת הסדר בין הבנים של. (יתכן וכעת יש ל- ארבעה בנים). 3 שלושה הוסף ל- אינדקס נוסף בהתאם לכללי עץ -3. (יתכן וכעת יש 5.4 אינדקסים) אם ל- v ארבעה בנים, פצל את לשני צמתים,, וחבר אותם כבנים לאב של צומת תוך שמירה על סדר האינדקסים הנכון. חזור לצעד 5. אם הוא שורש, צור צומת אשר בניו הם הצמתים ו- וסיים. אם ל- שלושה בנים, סיים. אלגוריתם להכנסת מפתח (חלק א) 1. חפש את בעץ. אם נמצא, סיים.. אם אינו ב-, יהי הצומת האחרון, שאינו עלה, במסלול החיפוש. (לו היה ב- אזי היה אבי העלה שבו נמצא). 3. צור עלה חדש בעל מפתח, והוסף אותו כבן ל- תוך שמירת הסדר בין הבנים של. (יתכן וכעת יש ל- ארבעה בנים). 4. הוסף ל- אינדקס נוסף בהתאם לכללי עץ -3. (יתכן וכעת יש ל- שלושה אינדקסים). הכנס :,,, 3, 14 5,, , cs,technion cs,technion 9 אלגוריתם להכנסת מפתח (במלואו) תכונות תהליך ההוספה חפש את בעץ. אם נמצא, סיים. אם אינו ב-, יהי הצומת האחרון, שאינו עלה, במסלול החיפוש. (לו היה ב- אזי היה אבי העלה שבו נמצא). צור עלה חדש בעל מפתח, והוסף אותו כבן ל- תוך שמירת הסדר בין הבנים של. (יתכן וכעת יש ל- ארבעה בנים). הוסף ל- אינדקס נוסף בהתאם לכללי עץ -3. (יתכן וכעת יש שלושה אינדקסים).. אם ל- v ארבעה בנים, פצל את לשני צמתים,, וחבר אותם כבנים לאב של צומת תוך שמירה על סדר האינדקסים הנכון. חזור לצעד 5. אם הוא שורש, צור צומת אשר בניו הם הצמתים ו- וסיים. אם ל- שלושה בנים, סיים. שינויים עולים (1), ומתבצעים רק על המסלול מהשורש לעלה שהוסף. 1. בזמן פיצול של צומת, הצמתים החדשים הם בעומק שווה לצומת שפוצל.. בפיצול השורש נוצר צומת חדש שמגדיל ב- 1 את העומק של כל הצמתים. 3. מסקנה: לאחר הוספה, כל העלים באותו עומק ולכל צומת פנימי 3- בנים cs,technion 1 cs,technion 11
4 דוגמא להוצאה מעץ -3 (השאלה בלבד) הוצאת מפתח מעץ -3 סלק צומת: הוצא 14: בהוצאת איבר מעץ -3 מבוצעות הפעולות הבאות: 14 16, , חיפוש מקומו של המפתח. הוצאת העלה שערכו. תיקון העץ כך שלכל צומת יהיו או 3 בנים. התיקון נעשה במסלול החיפוש של מהעלה שהוצא ועד השורש. בכל רמה נבצע (1) פעולות...3 השאל מאח: נמחיש זאת תחילה ע"י מספר דוגמאות. תיקון ערכי ההורים: , cs,technion 14 cs,technion 13 פרוט פעולות תיקון בזמן הוצאה דוגמא להוצאה מעץ -3 (שני איחודים) הלוואה מאח: אחד הורים: הוצא 3:,, 14 16, , , איחוד הורים: סלק שורש מיותר: אחד הורים:,, 15, 15, 14 16, 19, 14 16, cs,technion 16 cs,technion 15
5 אלגוריתם להוצאת מפתח מעץ -3 ניתוח פעולת ההוצאה נכונות: העומק של שום צומת אינו משתנה בזמן ההוצאה מלבד בסוף התהליך, במידה ומתבטל השורש, ואז העומק של כל הצמתים קטן באחד. לפיכך כל העלים נותרים בעומק שווה. כמו כן לכל צומת פנימי נותרים 3- בנים ונשמר יחס הסדר בין האינדקסים כנדרש. ניתוח זמן: כל פעולת חיפוש, הכנסה, והוצאה מעץ -3 דורשת (h) צעדי חישוב. כאשר h הוא גובה העץ, וזאת כי בכל רמה מבוצעות (1) פעולות. נזכר שעקב תכונות עץ -3 מתקיים כי ( h, = (log כאשר = הוא מספר המפתחות. סה"כ נקבל כי כל פעולה לוקחת ( log = (log צעדי חישוב. חפש את בעץ. אם לא נמצא בעץ, סיים. יהי העלה שערכו ויהי אביו. סלק את מהעץ.. אם הוא שורש ולו בן בודד, סלק את וסיים. אם ל- נותרו בנים, סיים. (המשך אם ל- נותר רק בן בודד). מקרה א (השאלה מאח): אם ל- יש אח ולו שלושה בנים, שאל בן מהאח וסיים. מקרה ב (איחוד הורים): אם לכל אח רק שני בנים, אחד את עם אח קרוב ל- ועדכן את המפתחות בצומת שנוצר. יהי ההורה של. חזור לצעד cs,technion 18 cs,technion 1 Invariant מושג השמורה - השוואה בין עצי -3 ועצי AVL שני סוגי העצים תומכים בפעולות המילון בזמן (.(log בעץ -3 רשומות נשמרות רק בעלים. בעץ AVL רשומות נשמרות גם בצמתים פנימיים וגם בעלים. לכל שימוש בעץ -3 ישנה כנראה אנלוגיה גם בעץ AVL ולהפך. לרוב השימושים הבחירה בין השניים אינה עקרונית. מושג השמורה משמש במדעי המחשב בשביל להוכיח נכונות של קוד ושאר תכונות מועילות שלו. מעשית, זו תכונה של הנתונים שנשמרת בין פעולה לפעולה, ומניבה תועלת כלשהי. דוגמאות אותן ראינו: שמורת עץ חיפוש בינארי: כל צומת גדול מהצמתים בתת העץ השמאלי שלו וקטן מכל הצמתים בתת העץ הימני שלו. תועלת: חיפוש, הכנסה והוצאה בזמן,(h) כש- h גובה העץ. שמורת עץ :AVL לכל צומת גורם האיזון בתחום [1,0,1 ]. תועלת: ( h. = (log יחד עם שמורת עץ החיפוש הבינארי ותיקונים בזמן.(log ( אחרי הכנסה\הוצאה, מאפשר חיפוש, הכנסה והוצאה זמן (h) שמורות עץ -3: כל עלה באותה רמה, לכל צומת פנימי בין ל- 3 בנים. תועלת: חיפוש, הכנסה והוצאה ניתנים לביצוע בזמן ((log בעץ -3 (אם מעדכנים באמצעות איחוד, פיצול והלוואה מאח אחרי עדכונים). cs, Technion 0 cs,technion 19
6 דוגמא להכנסה לעץ מדרגה 4 (עץ -3-4) דוגמא: הכנס 5:,, 3, 14 5, במקרה זה נדרש פיצול בודד. מחצית הצמתים (מעוגל כלפי מעלה) בענף השמאלי ומחצית (מעוגל כלפי מטה) בימני. 5,,, , דוגמאות נוספות בתרגול. cs,technion הכללה - עצי (מדרגה ) הגדרה: עץ מדרגה הוא עץ המקיים את התכונות הבאות: כל הערכים נמצאים בעלים, כל העלים באותה רמה. 1. לכל צומת פנימי, פרט אולי לשורש, יש בנים כאשר. /. לשורש מספר הבנים הוא. לצומת פנימי בעל בנים יש 1 אינדקסים ממוינים לפי גודלם. 3. כל המפתחות הנמצאים בתת העץ ה- קטנים מהאינדקס ה- וגדולים או כל המפתחות הנמצאים בתת העץ הימני ביותר שווים לאינדקס ה- גדולים או שווים לאינדקס האחרון., דוגמא: עץ -3. דוגמא: עץ חיפוש/הכנסה/הוצאה: כמו בעץ -3. כלומר, חיפוש לפי הגדרת עץ מדרגה, הכנסה או הוצאה של העלה המבוקש, ותיקון העץ מהעלה ועד השורש במסלול החיפוש כך,, 3, , שמספר הבנים בכל רמה יעמוד בדרישות עץ בדרגה. cs,technion 1 עצי דרגות - מידע נוסף בעצי חיפוש בשימושים רבים של עצי חיפוש כדאי לשמור אינפורמציה נוספת בכל צומת. אינפורמציה זו משמשת להאצת פעולות נוספות הנדרשות מעצי חיפוש. למשל: הגדרה: האינדקס (rank) של מספר בקבוצה הוא מקומו בסדרה ממוינת של איברי. האינדקס של 5 בקבוצה {8,,,5} הוא. שימוש עיקרי לעץ (מסדי נתונים) בעיה I: לממש עץ חיפוש התומך, בנוסף לפעולות הכנסה\הוצאה\חיפוש, גם במציאת האינדקס של בעץ בזמן (h) כאשר h הוא גובה העץ. הזיכרון ברוב המחשבים מורכב משני חלקים: זיכרון ראשי,(RAM) קטן אך מהיר. זיכרון משני,(DISK) גדול, אך איטי יחסית לזיכרון הראשי. כאשר לא ניתן להכניס את כל מבנה הנתונים לזיכרון הראשי יש לפנות מדי פעם לזיכרון המשני לקבלת אינפורמציה נוספת. זמן הגישה לזיכרון המשני גבוה מאד יחסית לזמן הקריאה של הנתונים והקריאה נעשית בבלוקים בעיה :II לממש עץ חיפוש התומך בחישוב סכום האיברים בעץ הקטנים מ בזמן.(h) בבעיות אלה יש לשמור מידע נוסף בעץ החיפוש כדי שנוכל לממש את הפעולות הנוספות ביעילות הנדרשת. אנו ניראה מהו המידע שיש לשמור וכיצד להשתמש בו. אח"כ ניראה כיצד לעדכן את המידע הנוסף כך שהעץ יישאר מאוזן. cs,technion עצי מדרגה גבוהה מספקים פתרון: בכל צומת פנימי נשמור כמספר הבלוקים של מפתחות שעדיין מאפשרים חיפוש מהיר בזיכרון הראשי. מספר הגישות לזיכרון המשני תלוי במספר הרמות (וזהו מספר נמוך) הנקבע ע"י גודל הבלוק. המחיר יהיה בסקירת המפתחות על מנת לקבוע את המשך החיפוש בעץ (תוך שימוש בזיכרון המהיר). cs,technion 3
7 עץ דרגות Tree) (Rank עץ דרגות Tree) (Rank בעיה :II לממש עץ חיפוש התומך במציאת סכום האיברים הקטנים מאיבר בזמן.(h) 0 8 פתרון: נשמור בכל צומת גם את סכום האיברים בתת-העץ ששורשו. נסמן מספר זה ב-.() יהא h מסלול החיפוש של. לכל צומת דוגמא: סכום האיברים הקטנים מ- 1 בעץ שקטן או שווה מ- ב- h נוסיף את הנ"ל הוא: ערכו של ושל כל הצמתים בתת העץ = 55 0) ( ) ( ) (8 + השמאלי של. בעזרת השדה () ניתן לחשב זאת כך: =, + (. ). מסקנה: זמן הריצה הוא.(h) כיצד נבטיח זמן ריצה (?(log cs,technion 6 בעיה I: לממש עץ חיפוש התומך במציאת האינדקס של איבר. 15 פתרון: נשמור בכל צומת גם את מספר הצמתים 8 6 בתת-העץ ששורשו. נסמן מספר זה ב-.() ערך זה מופיע משמאל לצמתים באיור 5 3 יהא h מסלול החיפוש של. לכל צומת שקטן או שווה מ- ב- h נספור את 1 1. וכל הצמתים בתת העץ השמאלי של בעזרת השדה () ניתן לחשב זאת כך: =,, =. =, 1 + (. ). הוא עץ בו בכל צומת tree) (rank הגדרה: עץ דרגות. בתת-העץ ששורשו מסקנה: בעץ דרגות מציאת ה- rank דורשת זמן.(h) נשמרים מספר הצמתים עץ דרגות הוא דוגמא למבנה נתונים בו בכל צומת נשמר מידע על תת-העץ שמתחתיו. סוג המידע השמור תלוי בבעיה אותה יש לפתור. cs,technion 5 עדכון השדה הנוסף עץ דרגות מאוזן tree) (Balanced Rank בעיה: לממש עץ חיפוש מאוזן התומך במציאת האינדקס בזמן ).(log של איבר (rank) כיצד נעדכן את () מספר הצמתים בתת העץ בכל תת-עץ של עץ? AVL 1. בזמן הכנסה נגדיל את () ב- 1 לאורך המסלול מהשורש לעלה שהוכנס. בזמן הסרה נקטין את () ב- 1 לאורך המסלול מהשורש לצומת שהוסר. בזמן גלגול נעדכן את השדה כנדרש, תוך שימוש בעובדה ש-( ( תלוי רק בערכי () של תת העץ, שכבר תוקנו.. פתרון: לדוגמא, באמצעות עץ.AVL נשמור בכל צומת את מספר הצמתים בתת-העץ ששורשו. זיכרו שסימנו מספר זה ב-.() () למשל בגלגול נעדכן כך: ( ) נדאג לעדכן את () בזמן הכנסות והסרות ובזמן גלגולים. () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cs,technion 8 cs,technion
8 דוגמא נוספת כיצד נעדכן את () סכום המפתחות בתת העץ בכל תת-עץ של עץ? AVL באופן דומה לאופן עדכון () בשקף הקודם - בזמן הכנסה\הסרה נעדכן את הסכום לאורך המסלול מהשורש לעלה שהוכנס\צומת שהוסר. בזמן גלגול נעדכן את השדה כנדרש. () למשל בגלגול נעדכן כך: ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + cs,technion 30 תרגיל בית: מהו העדכון בגלגולים האחרים? כיצד ניתן לתחזק שדות () ו-( ( בעץ -3? cs,technion 9
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #3 נושאים: תור קדימויות/ערימה, עצים חזרה מבנה נתונים אמצעי לאחסון נתונים במחשב. יש הרבה סוגים שונים, וצריך להשתמש במבנה שהכי מתאים לבעיה שלנו מבחינת שימוש בנתונים הוספה, מחיקה
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
עץץץץ AVL. עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1, 0, או 1-. הגדרה: במילים אחרות: לכל צומת x בעץ,
עץץץץ AVL הגדרה: עץ AVL הוא עץ חיפוש בינארי שמקיים את התנאי הבא: לכל צומת x בעץ גורם האיזון של x הוא 1,, או 1-. h(t left(x) ) - h(t right(x) ) 1 במילים אחרות: לכל צומת x בעץ, בעץ AVL שומרים עבור כל צומת
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא
מבני נתונים 08a תרגול 8 14/2/2008 המשך ערמות ליאור שפירא ערמות פיבונאצ'י Operation Linked List Binary Heap Binomial Heap Fibonacci Heap Relaxed Heap make-heap 1 1 1 1 1 is-empty 1 1 1 1 1 insert 1 log
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא:
של שאלות מבחינות פתרונות.1 שאלהזוהופיעהבמבחןמועדג 01 דוגמה: יהי T עץ בינארי כפי שמתואר בציור הבא: הגדרות: עבור צומת בעץ בינארי T נסמן ב- T את תת העץ של T ששורשו. (תת העץ הזה כולל את ). נגדיר את תת העץ
מבני נתונים (234218) 1
מבני נתונים (234218) 1 חומר עזר לבחינה 13 בספטמבר 2016 שימו לב: מותר לצטט טענות המופיעות בדף זה ללא הוכחה. כל טענה אחרת, שאינה מופיעה באופן מפורש, יש לנמק באופן מלא. נימוקים מהצורה "בדומה לטענה שבחומר
(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;
![(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;](/thumbs/69/60478508.jpg "(2) מיונים השאלות. .0 left right n 1. void Sort(int A[], int left, int right) { int p;")
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות בנושאים () זמני ריצה של פונקציות רקורסיביות () מיונים השאלות פתרו את נוסחאות הנסיגה בסעיפים א-ג על ידי הצבה חוזרת T() כאשר = T() = T( ) + log T() = T() כאשר =
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים (8..05). טענה אודות סדר גודל. log טענה: מתקיים Θ(log) (!) = הוכחה: ברור שמתקיים: 3 4... 4 4 4... 43 פעמים במילים אחרות:! נוציא לוגריתם משני האגפים: log(!) log( ) log(a b
מבני נתונים עצים שיעור 7
בס ד מבני נתונים עצים שיעור 7 שי גולן כ ח בניסן, תשע ו 6 במאי 2016 תקציר בתרגול זה נתחיל לדון בעצים. נגדיר עצים כלליים ועצים בינאריים, ונציג את ההגדרות הבסיסיות בתחום. נתרגל הוכחת תכונות של עצים באמצעות
Nir Adar גירסה 1.00 עמוד 1
גירסה 1.00 מבני נתונים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות התוכן
מיונים א': מיון (Sorting) HeapSort. QuickSort תור עדיפויות / ערימה
מיון (Sorting) void BubbleSort(int* A, int n){ for (i = ; i < n-; i++) for (j = n-; j >= i; j--) if ( a[j] > a[j+]) swap(&a[j], &a[j+]); מערך בן מספרים. קלט: מערך ובו המספרים מאוחסנים בסדר עולה (או יורד).
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
השאלות ידי מצביעים לילדים.
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 4 השאלות 1. כתבו פונקציה לא רקורסיבית שמדפיסה ב- Postorder את כל הנתונים המאוכסנים בעץ בינארי T. הפונקציה אינה צריכה להיות תלויה במימוש העץ T. הניחו שנתון
Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות.
מילון למחרוזות - Trie Lecture of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds מבני נתונים למחרוזות Trie מאפשר חיפוש, הכנסה, הוצאה, ומציאת מינימום (לקסיקוגרפי) של מחרוזות. המימוש
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
Nir Adar
גירסה 28.6.2003-1.00 רשימת דילוגים מסמך זה הורד מהאתר. אין להפיץ מסמך זה במדיה כלשהי, ללא אישור מפורש מאת המחבר. מחבר המסמך איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע במסמך, וכן לנכונות
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) (50 נקודות) מעבר חוקי, ו-'שקר' אחרת.
1 6 מאי, 2004 מועד הבחינה: 2 יח"ל ) השלמה ל - 5 יח"ל) פרק ראשון (50 נקודות) :1 Ï (מקור: שירלי רוזנברג כהן) נגדיר טיפוס נתונים חדש בשם תלת-מחסנית, כמבנה המכיל 3 מחסניות S3. S2, S1, נגדיר את הפעולות הבאות
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
![[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m](/thumbs/72/67672989.jpg "[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m")
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
חלק א' שאלה 3. a=3, b=2, k=0 3. T ( n) היותר H /m.
פתרון למבחן במבני נתונים, מועד א', קיץ 2005 חלק א' שאלה 1 א. רכיב הקשירות החזק של קודקוד x בגרף מכוון הינו אוסף כל הקודקודים y שמקימים שיש מסלול מ- x ל- y וכן מסלול מy ל- x. טעויות נפוצות שכחו לכתוב שזה
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
מבני נתונים ויעילות אלגוריתמים
חידה לחימום בסל מקש יש צמר. כדורי 00 שני שחקנים משחקים בתורות: כל שחקן, בתורו, צריך להוציא כמות כלשהי של כדורי צמר מהסל לפחות כדור אחד, אך לא יותר ממחצית מכמות כדורי הצמר שבסל. מי שלא יכול לעשות מהלך (מתי
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE סמסטר אביב תשס"ו מס' סטודנט:
TECHNION ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מבני נתונים 234218 1 מבחן מועד ב ' סמסטר אביב תשס"ו מרצה: אהוד ריבלין מתרגלים: איתן
ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
תורת הגרפים - סימונים
תורת הגרפים - סימונים.n = V,m = E בהינתן גרף,G = V,E נסמן: בתוך סימוני ה O,o,Ω,ω,Θ נרשה לעצמנו אף להיפטר מהערך המוחלט.. E V,O V + E כלומר, O V + E נכתוב במקום אם כי בכל מקרה אחר נכתוב או קשת של גרף לא
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
תוכן עניינים I בעיות מיון 2 1 סימון אסימפטוטי... 2 II מבני נתונים 20 8 מבני נתונים מופשטים משפט האב גרפים... 37
תוכן עניינים I בעיות מיון 2 1 סימון אסימפטוטי................................................ 2 2 מיון בועות. Bubble Sort............................................ 2 3 מיון מיזוג. Merge Sort............................................
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
כלליים זמן: S מחסנית, top(s) ראש המחסנית. (Depth First Search) For each unmarked DFS(v) / BFS(v) רקורסיבי. אלגוריתם :BFS
כלליים שיטות חיפוש בבגרפים שיטה 1: חיפוש לרוחב S (readth irst Search) זמן: ) Θ( V + הרעיון: שימוש בתור.O שיטה 2: חיפוש לעומק S (epth irst Search) Θ( V + ) יהי =(V,) גרף כלשהו, V הוא צומת התחלת החיפוש.
Hash Tables (המשך) ערבול (Hashing)
מילון עם מפתחות שלמים Lecture of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds טבלאות ערבול הפעולות הבסיסיות של מילון הן כזכור חיפוש, הכנסה, והוצאה. אם המפתחות מספרים שלמים בתחום
אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני
גירסה 1.00 5.12.2002 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק שני מסמך זה הינו השני בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
מבני נתונים הגבלת אחריות פרק - 1 אלגוריתמי מיון ואנליזה אסימפטוטית. מיון בועות Sort Bubble מאת : סשה גולדשטיין,
009 מבני נתונים סיכום למבחן, יולי sashag@cs מאת : סשה גולדשטיין, 7:50,3.7.09 עדכון אחרון : בשעה הגבלת אחריות הסיכום להלן הוא האינטרפרטציה שלי של החומר, שממש לא חייבת להיות נכונה או מייצגת את זו של הסגל.
מיון. 1 מיון ערימה (Heapsort) חלק I 1.1 הגדרת ערימה 0.1 הגדרה של המושג מיון מסקנה: הערך הכי גבוה בערימה נמצא בשורש העץ!
מיון ערימה (Heapsort) מבני נתונים חלק I מיון מבני נתונים ד"ר ערן לונדון. הגדרת ערימה ערימה (בינארית) הינה מערך אשר ניתן להציגו כמו עץ בינארי מלא או כמעט מלא כאשר כל קודקוד בעץ מתאים לתא במערך. העץ הינו
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
' 2 סמ ליגרת ןורתפ םיפרגה תרותב םימתירוגלא דדצ 1 : הלאש ןורתפ רבסה תורעה
אלגוריתמים בתורת הגרפים פתרון תרגיל מס' 2 לשאלות והערות נא לפנות לאילן גרונאו (shrilan@cs.technion.ac.il) א) ב) ג) גרף דו-צדדי (bipartite) הינו גרף (E )G V, אשר קיימת חלוקה של צמתיו לשתי קבוצות U,W e =
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים
TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה
תוכן הפרק: ,best case, average case דוגמאות 1. זמן - נמדד באמצעות מס' פעולות סיבוכיות, דוגמאות, שיפור בפקטור קבוע האלגוריתם. וגודלם. איטרטיביים. לקלט.
פרק סיבוכיות פרק סיבוכיות המושג יעילות מהו? במדעי המחשב היעילות נמדדת בעזרת מדדי סיבוכיות, החשובים שבהם: של אלגוריתמים יעילותם תוכן הפרק: יעילות מהי (זיכרון וזמן, זמן ריצה T( של אלגוריתם מהו, מהם case,
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
תאריך הבחינה: שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:
תאריך הבחינה:... נובה פנדינה שם המרצה: רפי כהן שם המתרגל: יסודות מבני נתונים שם הקורס:..00 מספר הקורס:. סמסטר: א' מועד: שנה: שלוש שעות משך הבחינה: ללא חומר עזר חומר עזר: ב' הנחיות חשובות: רצוי לפתור את
םינותנ ינבמ (הנכות ידימלתל)
מבני נתונים (לתלמידי תוכנה) 0368.2158 מועד ב', גירסה 1 2 מתוך 2 שיטת האב Method Master n Tn ( ) = at( ) + fn ( ) b logba logba ε Θ ( n ) if : ε > 0, f( n) = O( n ) logba logba Tn ( ) = Θ ( n lg n) if:
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
השאלות..h(k) = k mod m
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),
1 סכום ישר של תת מרחבים
אלמה רופיסה :הצירטמ לש ןדרו'ג תרוצ O O O O O O ןאבצ זעוב סכום ישר של תת מרחבים פרק זה כולל טענות אלמנטריות, שהוכחתן מושארת לקורא כתרגיל הגדרה: יהיו V מרחב וקטורי, U,, U k V תת מרחבים הסכום W U + U 2 +
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
משפטי בקרה ולולאות שעור מס. 3 כל הזכויות שמורות דר' דרור טובי המרכז האוניברסיטאי אריאל
משפטי בקרה ולולאות שעור מס. 3 דרור טובי דר' 1 כל הזכויות שמורות דר' דרור טובי המרכז האוניברסיטאי אריאל - הקדמה משפט התנאי if המשימה: ברצוננו לכתוב תוכנית המקבלת שני מספרים בסדר כל שהוא ולהדפיס אותם בסדר
אלגוריתמים / תרגיל #1
1 אריאל סטולרמן אלגוריתמים / תרגיל #1 קבוצה 02 (1) טענה: אם בגרף לא מכוון וקשיר יש 2 צמתים מדרגה אי זוגית ושאר הצמתים מדרגה זוגית, זהו תנאי הכרחי ומספיק לקיום מסלול אויילר בגרף. הערות: הוכחה: התוספת כי
תורת המספרים 1 פירוק לגורמים ראשוניים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב הגדרות 1.2 טענות
תורת המספרים סיכום הגדרות טענות ומשפטים אביב 017 1 פירוק לגורמים ראשוניים 1.1 הגדרות חוג A C נקראת חוג אם: היא מכילה את 0 ואת 1 סגורה תחת חיבור, חיסור, וכפל הפיך A חוג. a A נקרא הפיך אם 0,a.a 1 A קבוצת
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
אסימפטוטיים תוכנית הקורס עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות סיבוכיות משוערכת מיון מיון שימושים: גרפים איסוף אשפה
תוכנית הקורס cs, Technion 2..3.4 מבני נתונים בסיסיים וסימונים אסימפטוטיים מערכים ורשימות מקושרות עצים ועצי חיפוש עצי AVL עצי 2-3 עצי דרגות.5 רשימות דילוגים סיבוכיות משוערכת.6.7.8.9.0..3.4 מטרת הקורס: מבני
מבני נתונים מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו
TECHNION - ISRAEL INSTITUTE OF TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER SCIENCE הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב מרצים: רן אל-יניב, נאדר בשותי מבני נתונים 234218-1 מבחן מועד ב' סמסטר חורף תשס"ו
מסדי נתונים רלציונים התצפית של כל משתמש על פי היישום ייצוג הנתונים על פי המודל כטבלאות שמירה בפועל על הדיסק
מסד נתונים רלציוני 234322 פרק 8 הדרך המקובלת לטפל במאגרי נתונים גדולים. מוגדרות פעולות אבסטרקטיות על הנתונים באופן שאינו תלוי במימוש. בקורס נלמד כיצד לממש את המסד והפעולות האלו. נלמד: א. הפעולות הבסיסיות
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות סמסטר א תשע ז
פתרון תרגיל בית 6 מבוא לתורת החבורות 88-211 סמסטר א תשע ז הוראות בהגשת הפתרון יש לרשום שם מלא, מספר ת ז ומספר קבוצת תרגול. תאריך הגשת התרגיל הוא בתרגול בשבוע המתחיל בתאריך ג טבת ה תשע ז, 1.1.2017. שאלות
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
הגדרה: קבוצת פעילויות חוקית היא קבוצה בה כל שתי פעילויות
אלגוריתמים חמדניים אלגוריתם חמדן, הוא כזה שבכל צעד עושה את הבחירה הטובה ביותר האפשרית, ולא מתחרט בהמשך גישה זו נראית פשטנית מדי, וכמובן שלא תמיד היא נכונה, אך במקרים רבים היא מוצאת פתרון אופטימאלי בתרגול
s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=
את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -
חידה לחימום. כתבו תכנית שהקלט שלה הוא מספר שלם n,
חידה לחימום נתון פיגום משולש של מוטות המחברים קודקודים ויוצרים קומות של משולשים קטנים, כמודגם באיור הבא, בו מתואר פיגום משולש בן שתי קומות: משימתו של פועל העובד בפיגום היא להתקדם מן הקודקוד השמאלי התחתון
logn) = nlog. log(2n
תכנוןוניתוחאלגוריתמים סיכוםהתרגולים n log O( g( n)) = Ω( g( n)) = θ ( g( n)) = תרגול.3.04 סיבוכיות { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 f ( n) c g( n) } { f ( n) c> 0, n0 > 0 n> n0 0 c g( n) f ( n) } { f ( n)
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות
תורת הקבוצות תרגיל בית 2 פתרונות חיים שרגא רוזנר כ"ה בניסן, תשע"ה תזכורות תקציר איזומורפיזם סדר, רישא, טרנזיטיביות, סודרים, השוואת סודרים, סודר עוקב, סודר גבולי. 1. טרנזיטיבות וסודרים קבוצה A היא טרנזיטיבית
תורישק :תורישקה תייעבב בוש ןייענ?t- t ל s- s מ לולסמ שי םאה 2
סריקה לעומק רכיבים אי-פריקים רכיבים קשירים היטב מיון טופולוגי פרק 3 ב- Kleinberg/Tardos פרק 3.3-5 ב- al Cormen et קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות: ל- t? האם יש מסלול מ- s קשירות נעיין שוב בבעיית הקשירות:
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה.
פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
שיטות אנליזה לניתוח זמנים משוערך Amortized Time Analysis
2-3 trees שיטות אנליזה לניתוח זמנים משוערך Amortized Time Analysis Lecture 14 of Geiger & Itai s slide brochure www.cs.technion.ac.il/~dang/courseds Chapter 17 Amortized Analysis (405 429) חומר קריאה לשיעור
. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y
שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך
בסל A רמת התועלת היא: ) - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות. P x P y. U y P y A: 10>6 B: 9>7 A: 5>3 B: 4>3 C: 3=3 C: 8=8 תנאי שני : מגבלת התקציב
תנאי ראשון - השקה: שיפוע קו תקציב=שיפוע עקומת אדישות 1) MRS = = שיווי המשקל של הצרכן - מציאת הסל האופטימלי = (, בסל רמת התועלת היא: ) = התועלת השולית של השקעת שקל (תועלת שולית של הכסף) שווה בין המוצרים
תכנון דינאמי. , p p p והמטריצה המתקבלת היא בגודל
תכנון אלגוריתמים, אביב, תרגול מס' תכנון דינאמי תכנון דינאמי בתרגול זה נדון בבעיית הכפלת סדרת מטריצות (6..(CLR ראשית נראה דוגמא:. A, A, A, A נסמן את גודל המטריצות בסדרה ע"י סדרת גדלים כאשר, p 5 5 p היא
מבחן מועד ב' בהצלחה! אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: ודאו כי כל עמודי הבחינה נמצאים בידכם.
7.8.2017 מבחן מועד ב' תאריך הבחינה: שמות המרצים: מר בועז ארד פרופ' עמוס ביימל מר יהונתן כהן דר' עדן כלמטץ' גב' מיכל שמש אנא קיראו היטב את ההוראות שלהלן: שם הקורס: תכנון אלגוריתמים מספר הקורס: 202-1-2041
Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.
Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.
תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת
תרגול 3 ניתוח לשיעורין תאריך עדכון אחרון: 27 בפברואר 2011. ניתוח לשיעורין analysis) (amortized הוא טכניקה לניתוח זמן ריצה לסדרת פעולות, אשר מאפשר קבלת חסמי זמן ריצה נמוכים יותר מאשר חסמים המתקבלים כאשר
טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של. נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח.
1 תשע'א תירגול 8 אלגברה לינארית 1 טענה חשובה : העתקה לינארית הינה חד חד ערכית האפס ב- הוא הוקטור היחיד שמועתק לוקטור אפס של וקטור אם הוכחה: חד חד ערכית ויהי כך ש מכיוון שגם נקבל מחד חד הערכיות כי בהכרח
אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון
גירסה 1. 11.11.22 אלגוריתמים בתורת הגרפים חלק ראשון מסמך זה הינו הראשון בסדרת מסמכים אודות תורת הגרפים, והוא חופף בחלקו לקורס "אלגוריתמים בתורת הגרפים" בטכניון (שאינו מועבר יותר). ברצוני להודות תודה מיוחדת
פתרונות , כך שאי השוויון המבוקש הוא ברור מאליו ולכן גם קודמו תקף ובכך מוכחת המונוטוניות העולה של הסדרה הנתונה.
בחינת סיווג במתמטיקה.9.017 פתרונות.1 סדרת מספרים ממשיים } n {a נקראת מונוטונית עולה אם לכל n 1 מתקיים n+1.a n a האם הסדרה {n a} n = n היא מונוטונית עולה? הוכיחו תשובתכם. הסדרה } n a} היא אכן מונוטונית
אלגוריתמים 1, סמסטר אביב 2017
BFS, DFS, Topological Sort תרגיל בית 1 מוסכמות והנחות להלן רשימת הנחות ומוסכמות אשר תקפות לכל השאלות, אלא אם כן נכתב אחרת במפורש בגוף השאלה. עליכם להוכיח נכונות ולנתח סיבוכיות עבור כל אלגוריתם מוצע. במידה
מבני נתונים אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון:
מבני נתונים בס"ד, ט' אדר א' תשע"א: שעור 1 אדמיניסטרציה ד"ר אלכס סמורודניצקי, רוס 210, שני 5:30 4:15. ציון: בחינת מגן 20%. תרגילים: 14 13, מורידים את האחד הכי גרוע. 10% מהציון. אתר: www.cs.huji.ac.il/~dast
אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים תרגולים מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין סמסטר ב', תש"ע
אוניברסיטת בר אילן מבני נתונים 89-120 תרגולים (חלקי) מרצה: פרופ' שמואל טומי קליין נכתב ונערך ע"י: גלעד אשרוב סמסטר ב', תש"ע הערות כלליות. המסמך מכיל סיכומי תרגולים שניתנו במהלך הסמסטר (סמסטר ב', תש"ע).
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע